LA TI-59 E L'ESAGONO MAGICO

TI-59 AND THE MAGIC HEXAGON

 

Sul numero 11 (Aprile 1981) della rivista Micro e Personal Computer, alla quale ero all'epoca abbonato, apparve una prova della scheda a microprocessore Amico 2000 ma la parte che più mi interessò era un piccolo trafiletto (vedi sotto) all'interno dell'articolo nel quale si parlava della risoluzione di un giochino (non identificato) usando appunto il predetto Amico 2000 con un metodo metà a tentativi e metà analitico che comunque aveva portato alla soluzione del quesito.

Perché allora non tentare di risolverlo con la mia TI-59? Dopo qualche settimana di tentativi analitici (provando a risolvere in qualche maniera il sistema che risultava di 15 equazioni in 19 incognite) avevo dato forfait e "seppellita" l'intera faccenda. Qualche settimana fa, sistemando delle vecchie carte, ho trovato le mie note dell'epoca ed ho deciso di riprendere in mano la questione anche approfittando del fatto che oggi l'hardware (ed il software) a disposizione è ben più capace.

Così identificato il nome del giochino(!) e cioè l'"Esagono Magico" mi sono documentato su Internet ed ho trovato un po' di materiale, ma pochissimo software (tantomeno per la 59) e così mi sono deciso a scrivere un programma usando il solito Quick Basic. Il risultato finale dopo cinque o sei scritture è stato HEXAGON.BAS che compilato ed eseguito su un CoreDuo in circa 15 secondi trova tutte le 12 soluzioni. Così per sfizio ho riscritto il codice in C - compilandolo usando sia il Turbo C 2.01 della Borland che il Quick C 2.0 della Microsoft -, in Pascal - con il Quick Pascal della Microsoft -, in Fortran - 77 per PC IBM - ed anche in linguaggio ERRE (vedi la pagina su ERRE PROJECT).

A questo punto è iniziata la traduzione in SOA per poterlo far girare sulla TI-59: dopo qualche studio teorico per poter ridurre il numero delle variabili coinvolte e limitare gli estremi sulle altre il risultato finale è stato il programma HEXAGON4.SOA di 322 passi che ha prodotto (sul mio emulatore di TI-59) la prima soluzione dopo circa 20 minuti (grosso modo un giorno di elaborazione sulla TI-59 reale e probabilmente una decina di giorni per tutte le soluzioni). Visti gli spazi occupati l'ho anche adattato per le TI-58/58C ed ecco HEXAGON3.SOA (che produce gli stessi risultati del suo fratellino) di 309 passi e che gira usando la partizione 2 Op 17 319.19 (!).

Le variabili utilizzate dal programma Basic sono numerate da A1 ad A19 e sono così disposte:

Nella traduzione è stato rispettato quest'ordine così A1 diventa R01, A2 R02 e così via.

Le prime cinque soluzioni prodotte dai due programmi HEXAGON sono le seguenti:

    3. 01
   17. 02
   18. 03
   19. 04
    7. 05
    1. 06
   11. 07
   16. 08
    2. 09
    5. 10
    6. 11
    9. 12
   12. 13
    4. 14
    8. 15
   14. 16
   10. 17
   13. 18
   15. 19
    0. 20
    0. 21
42504. 22
    0. 23
    0. 24
    0. 25
    0. 26
    0. 27
    0. 28
    0. 29

    9. 01
   11. 02
   18. 03
   14. 04
    6. 05
    1. 06
   17. 07
   15. 08
    8. 09
    5. 10
    7. 11
    3. 12
   13. 13
    4. 14
    2. 15
   19. 16
   10. 17
   12. 18
   16. 19
    0. 20
    0. 21
65080. 22
    0. 23
    0. 24
    0. 25
    0. 26
    0. 27
    0. 28
    0. 29
     3. 01
    19. 02
    16. 03
    17. 04
     7. 05
     2. 06
    12. 07
    18. 08
     1. 09
     5. 10
     4. 11
    10. 12
    11. 13
     6. 14
     8. 15
    13. 16
     9. 17
    14. 18
    15. 19
     0. 20
     0. 21
533063. 22
     0. 23
     0. 24
     0. 25
     0. 26
     0. 27
     0. 28
     0. 29
    10. 01
    12. 02
    16. 03
    13. 04
     4. 05
     2. 06
    19. 07
    15. 08
     8. 09
     5. 10
     7. 11
     3. 12
    14. 13
     6. 14
     1. 15
    17. 16
     9. 17
    11. 18
    18. 19
     0. 20
     0. 21
589439. 22
     0. 23
     0. 24
     0. 25
     0. 26
     0. 27
     0. 28
     0. 29
     9. 01
    14. 02
    15. 03
    11. 04
     6. 05
     8. 06
    13. 07
    18. 08
     1. 09
     5. 10
     4. 11
    10. 12
    17. 13
     7. 14
     2. 15
    12. 16
     3. 17
    19. 18
    16. 19
     0. 20
     0. 21
795633. 22
     0. 23
     0. 24
     0. 25
     0. 26
     0. 27
     0. 28
     0. 29

Il registro R22 contiene il numero dei cicli effettuati fino a quel momento: la prima soluzione arriva dopo 42504 cicli, il che spiega la lentezza sulla TI-59 reale. Nella tabella sotto ho riportato, affiancati, i due programmi: come si può vedere la traduzione è estremamente lineare. Da notare che la versione SOA non ha bisogno dell'array VETT(.) del BASIC in quanto i registri della TI-59 sono richiamabili sia direttamente che indirettamente (tramite un indice).

                       HEXAGON.BAS                                        HEXAGON4.SOA

DEFINT A-Z
CLS : DIM vett(1 TO 19)
PRINT TIME$
a10=5
FOR a3 = 18 TO 3 STEP -1 '18
FOR a8 = 18 TO 3 STEP -1'15
FOR a12 = 18 TO 3 STEP -1 '3
FOR a17 = 18 TO 3 STEP -1 '10
FOR a15 = 8 TO 1 STEP -1 '2
FOR a6 = 8 TO 1 STEP -1'1

count# = count# + 1

a14 = 38 - a3 - a6 - a10 - a17
a13 = 38 - a8 - a17
a7 = 38 - a3 - a12
a16 = 38 - a13 - a14 - a15
a19 = 38 - a12 - a16
a18 = 38 - a17 - a19
a11 = 38 - a7 - a15 - a18
a9 = 38 - a8 - a10 - a11 - a12
a4 = 38 - a9 - a14 - a18
a1 = 38 - a4 - a8
a2 = 38 - a1 - a3
a5 = 38 - a4 - a6 - a7

'--------------- eq. non utilizzate ------
'a2 + a5 + a9 + a13 = 38
'a2 + a6 + a11 + a16 = 38
'a1 + a5 + a10 + a15 + a19 = 38
'-----------------------------------------

GOSUB VerificaSeUguali: IF NOT IsEqual THEN PRINT a1; a2; a3; a4; a5; a6; a7; a8; a9; a10; a11; a12; a13; a14; a15; a16; a17; a18; a19; ":"; count#

NEXT a6
NEXT a15
NEXT a17
NEXT a12
NEXT a8
NEXT a3
PRINT TIME$
END

VerificaSeUguali:
vett(1) = a1: vett(2) = a2: vett(3) = a3: vett(4) = a4: vett(5) = a5: vett(6) = a6
vett(7) = a7: vett(8) = a8: vett(9) = a9: vett(10) = a10: vett(11) = a11: vett(12) = a12
vett(13) = a13: vett(14) = a14: vett(15) = a15: vett(16) = a16: vett(17) = a17: vett(18) = a18
vett(19) = a19
IsEqual = 0
IF ABS(vett(19) - 19) >= 19 THEN IsEqual = -1: RETURN
FOR i = 18 TO 1 STEP -1
IF ABS(vett(i) - 19) >= 19 THEN IsEqual = -1: EXIT FOR
FOR j = 19 TO i + 1 STEP -1
IF vett(i) = vett(j) THEN IsEqual = -1: i = 1: j = 1
NEXT j
NEXT i
RETURN
{ Risolve l'esagono magico - tradotto da HEXFORTI.BAS      }
{ E' il più veloce in assoluto e il primo che gira in tempi}
{ decenti anche sulla TI-59 reale                          }
{ Trova la prima soluzione dopo 42.504 cicli di calcolo    }

{ La SUB Basic VerificaSeUguali viene messa all'inizio per } 
{ ottimizzare la velocità di esecuzione}

INV STF 01
RCL 19 X:T 0 GE SUM 2 0 X:T GE SUM
1 8 STO 21
LBL STO
RC* 21 X:T 0 GE SUM 2 0 X:T GE SUM
1 9 STO 00
LBL RCL
RC* 21 X:T RC* 00 EQ SUM
OP 30 1 + RCL 21 = X:T RCL 00 GE RCL
DSZ 21 STO RTN
LBL SUM
STF 01
RTN

{inizio esecuzione}
LBL A CMS 5 STO 10 { fissa il centrale a10}
1 8 STO 03
LBL CLR
1 8 STO 08
LBL CE
1 8 STO 12
LBL INV
1 8 STO 17
LBL SQR
8 STO 15
LBL X^2
8 STO 06
LBL 1/X
{ visualizza il ciclo attuale - R22 e' la variabile count#}
1 SUM 22 {RCL 22 PAU}
3 8 - RCL 03 - RCL 06 - RCL 10 - RCL 17 = STO 14
3 8 - RCL 08 - RCL 17 = STO 13
3 8 - RCL 03 - RCL 12 = STO 7
3 8 - RCL 13 - RCL 14 - RCL 15 = STO 16
3 8 - RCL 12 - RCL 16 = STO 19
3 8 - RCL 17 - RCL 19 = STO 18
3 8 - RCL 07 - RCL 15 - RCL 18 = STO 11
3 8 - RCL 08 - RCL 10 - RCL 11 - RCL 12 = STO 09
3 8 - RCL 09 - RCL 14 - RCL 18 = STO 04
3 8 - RCL 04 - RCL 08 = STO 01
3 8 - RCL 01 - RCL 03 = STO 02
3 8 - RCL 04 - RCL 06 - RCL 07 = STO 05
SBR 00 00 IFF 01 +/-
{stampa le soluzioni}
1 INV LST ADV
LBL +/-
DSZ 06 1/X
DSZ 15 X^2
1 INV SUM 17 3 X:T RCL 17 GE SQR {DSZ 17 SQR}
1 INV SUM 12 3 X:T RCL 12 GE INV {DSZ 12 INV}
OP 38 3 X:T RCL 08 GE CE {DSZ 08 CE }
OP 33 3 X:T RCL 03 GE CLR {DSZ 03 CLR}
R/S
 

La faccenda sembrava finita qui, ma mi ha "disturbato" la lentezza dell'esecuzione della versione SOA, così ho esaminato più attentamente il programma SUMSUP.C (il più adatto dei due prelevati da Internet) che risolve il problema in modo più elegante del mio ed anche più veloce; l'unico rischio era che la traduzione fosse troppo complicata ed andasse oltre le capacità della 59. Così dopo averlo riscritto senza usare le strutture #define dell'originale che lo rendevano più leggibile, ma anche difficilmente traducibile in altri linguaggi, l'ho codificato anche in Pascal, in Quick Basic, in Fortran 77  ed anche in ERRE. Comunque i tempi di esecuzioni della versione in C sono mostruosi: in meno di un secondo vengono stampate tutte le soluzioni !

Proprio ERRE mi ha facilitato molto il compito perché il suo compilatore (che in realtà è un cross-compiler) produce un programma Basic con tutti i salti esplicitati e perciò era perfetto per la traduzione in SOA.

Il risultato finale è stato SUMSUP2R.SOA (solo per la TI-59) in 540 passi (e quindi partizione 559.49) che è anche molto veloce: con l'emulatore che gira sul solito CoreDuo in neanche 40 minuti sono state stampate tutte le soluzioni. Per l'esecuzione basta premere A. Adesso non resta che farlo girare sulla TI reale ......

* 000 76 LBL
  001 18 C'
  002 53 (
  003 24 CE
  004 85 +
  005 03 3
  006 00 0
  007 54 )
  008 42 STO
  009 00 00
  010 92 RTN
* 011 76 LBL
  012 19 D'
  013 18 C'
  014 01 1
  015 32 X:T
  016 73 RC*
  017 00 00
  018 92 RTN
* 019 76 LBL
  020 10 E'
  021 42 STO
  022 26 26
  023 22 INV
  024 86 STF
  025 01 01
  026 43 RCL
  027 26 26
  028 32 X:T
  029 00 0
  030 77 GE
  031 96 WRT
  032 02 2
  033 00 0
  034 32 X:T
  035 77 GE
  036 96 WRT
  037 01 1
  038 32 X:T
  039 43 RCL
  040 26 26
  041 18 C'
  042 73 RC*
  043 00 00
  044 67 EQ
  045 96 WRT
  046 86 STF
  047 01 01
* 048 76 LBL
  049 96 WRT
  050 92 RTN
* 051 76 LBL
  052 17 B'
  053 18 C'
  054 01 1
  055 74 SM*
  056 00 00
  057 92 RTN
* 058 76 LBL
  059 16 A'
  060 18 C'
  061 01 1
  062 22 INV
  063 74 SM*
  064 00 00
  065 92 RTN
* 066 76 LBL
  067 11 A
  068 47 CMS
  069 01 1
  070 09 9
  071 42 STO
  072 01 01
* 073 76 LBL
  074 22 INV
  075 43 RCL
  076 01 01
  077 19 D'
  078 67 EQ
  079 94 +/-
  080 01 1
  081 74 SM*
  082 00 00
  083 01 1
  084 09 9
  085 42 STO
  086 03 03
* 087 76 LBL
  088 24 CE
  089 43 RCL
  090 03 03
  091 19 D'
  092 67 EQ
  093 95 =
  094 01 1
  095 74 SM*
  096 00 00
  097 03 3
  098 08 8
  099 75 -
  100 43 RCL
  101 01 01
  102 75 -
  103 43 RCL
  104 03 03
  105 95 =
  106 42 STO
  107 02 02
  108 10 E'
  109 22 INV
  110 87 IFF
  111 01 01
  112 85 +
  113 43 RCL
  114 02 02
  115 17 B'
  116 01 1
  117 09 9
  118 42 STO
  119 12 12
* 120 76 LBL
  121 25 CLR
  122 43 RCL
  123 12 12
  124 19 D'
  125 67 EQ
  126 75 -
  127 01 1
  128 74 SM*
  129 00 00
  130 03 3
  131 08 8
  132 75 -
  133 43 RCL
  134 03 03
  135 75 -
  136 43 RCL
  137 12 12
  138 95 =
  139 42 STO
  140 07 07
  141 10 E'
  142 22 INV
  143 87 IFF
  144 01 01
  145 65 x
  146 43 RCL
  147 07 07
  148 17 B'
  149 01 1
  150 09 9
  151 42 STO
  152 19 19
* 153 76 LBL
  154 23 LNX
  155 43 RCL
  156 19 19
  157 19 D'
  158 67 EQ
  159 55 :
  160 01 1
  161 74 SM*
  162 00 00
  163 03 3
  164 08 8
  165 75 -
  166 43 RCL
  167 12 12
  168 75 -
  169 43 RCL
  170 19 19
  171 95 =
  172 42 STO
  173 16 16
  174 10 E'
  175 22 INV
  176 87 IFF
  177 01 01
  178 89 п
  179 43 RCL
  180 16 16
  181 17 B'
  182 01 1
  183 09 9
  184 42 STO
  185 17 17
* 186 76 LBL
  187 33 X2
  188 43 RCL
  189 17 17
  190 19 D'
  191 67 EQ
  192 53 (
  193 01 1
  194 74 SM*
  195 00 00
  196 03 3
  197 08 8
  198 75 -
  199 43 RCL
  200 19 19
  201 75 -
  202 43 RCL
  203 17 17
  204 95 =
  205 42 STO
  206 18 18
  207 10 E'
  208 22 INV
  209 87 IFF
  210 01 01
  211 52 EE
  212 43 RCL
  213 18 18
  214 17 B'
  215 01 1
  216 09 9
  217 42 STO
  218 08 08
* 219 76 LBL
  220 34 √X
  221 43 RCL
  222 08 08
  223 19 D'
  224 67 EQ
  225 54 )
  226 01 1
  227 74 SM*
  228 00 00
  229 03 3
  230 08 8
  231 75 -
  232 43 RCL
  233 17 17
  234 75 -
  235 43 RCL
  236 08 08
  237 95 =
  238 42 STO
  239 13 13
  240 10 E'
  241 22 INV
  242 87 IFF
  243 01 01
  244 57 ENG
  245 43 RCL
  246 13 13
  247 17 B'
  248 03 3
  249 08 8
  250 75 -
  251 43 RCL
  252 01 01
  253 75 -
  254 43 RCL
  255 08 08
  256 95 =
  257 42 STO
  258 04 04
  259 10 E'
  260 22 INV
  261 87 IFF
  262 01 01
  263 58 FIX
  264 43 RCL
  265 04 04
  266 17 B'
  267 01 1
  268 09 9
  269 42 STO
  270 05 05
* 271 76 LBL
  272 35 1/X
  273 43 RCL
  274 05 05
  275 19 D'
  276 67 EQ
  277 59 INT
  278 01 1
  279 74 SM*
  280 00 00
  281 03 3
  282 08 8
  283 75 -
  284 43 RCL
  285 04 04
  286 75 -
  287 43 RCL
  288 05 05
  289 75 -
  290 43 RCL
  291 07 07
  292 95 =
  293 42 STO
  294 06 06
  295 10 E'
  296 22 INV
  297 87 IFF
  298 01 01
  299 50 |X|
  300 43 RCL
  301 06 06
  302 17 B'
  303 03 3
  304 08 8
  305 75 -
  306 43 RCL
  307 02 02
  308 75 -
  309 43 RCL
  310 06 06
  311 75 -
  312 43 RCL
  313 16 16
  314 95 =
  315 42 STO
  316 11 11
  317 10 E'
  318 22 INV
  319 87 IFF
  320 01 01
  321 66 PAU
  322 43 RCL
  323 11 11
  324 17 B'
  325 03 3
  326 08 8
  327 75 -
  328 43 RCL
  329 07 07
  330 75 -
  331 43 RCL
  332 11 11
  333 75 -
  334 43 RCL
  335 18 18
  336 95 =
  337 42 STO
  338 15 15
  339 10 E'
  340 22 INV
  341 87 IFF
  342 01 01
  343 81 RST
  344 43 RCL
  345 15 15
  346 17 B'
  347 03 3
  348 08 8
  349 75 -
  350 43 RCL
  351 13 13
  352 75 -
  353 43 RCL
  354 15 15
  355 75 -
  356 43 RCL
  357 16 16
  358 95 =
  359 42 STO
  360 14 14
  361 10 E'
  362 22 INV
  363 87 IFF
  364 01 01
  365 61 GTO
  366 43 RCL
  367 14 14
  368 17 B'
  369 03 3
  370 08 8
  371 75 -
  372 43 RCL
  373 04 04
  374 75 -
  375 43 RCL
  376 14 14
  377 75 -
  378 43 RCL
  379 18 18
  380 95 =
  381 42 STO
  382 09 09
  383 10 E'
  384 22 INV
  385 87 IFF
  386 01 01
  387 71 SBR
  388 43 RCL
  389 09 09
  390 17 B'
  391 03 3
  392 08 8
  393 75 -
  394 43 RCL
  395 01 01
  396 75 -
  397 43 RCL
  398 05 05
  399 75 -
  400 43 RCL
  401 15 15
  402 75 -
  403 43 RCL
  404 19 19
  405 95 =
  406 42 STO
  407 10 10
  408 10 E'
  409 22 INV
  410 87 IFF
  411 01 01
  412 68 NOP
  413 43 RCL
  414 10 10
  415 17 B'
  416 01 1
  417 22 INV
  418 90 LST
  419 98 ADV
  420 43 RCL
  421 10 10
  422 16 A'
* 423 76 LBL
  424 68 NOP
  425 43 RCL
  426 09 09
  427 16 A'
* 428 76 LBL
  429 71 SBR
  430 43 RCL
  431 14 14
  432 16 A'
* 433 76 LBL
  434 61 GTO
  435 43 RCL
  436 15 15
  437 16 A'
* 438 76 LBL
  439 81 RST
  440 43 RCL
  441 11 11
  442 16 A'
* 443 76 LBL
  444 66 PAU
  445 43 RCL
  446 06 06
  447 16 A'
* 448 76 LBL
  449 50 |X|
  450 43 RCL
  451 05 05
  452 16 A'
* 453 76 LBL
  454 59 INT
  455 97 DSZ
  456 05 05
  457 35 1/X
  458 43 RCL
  459 04 04
  460 16 A'
* 461 76 LBL
  462 58 FIX
  463 43 RCL
  464 13 13
  465 16 A'
* 466 76 LBL
  467 57 ENG
  468 43 RCL
  469 08 08
  470 16 A'
* 471 76 LBL
  472 54 )
  473 97 DSZ
  474 08 08
  475 34 √X
  476 43 RCL
  477 18 18
  478 16 A'
* 479 76 LBL
  480 52 EE
  481 43 RCL
  482 17 17
  483 16 A'
* 484 76 LBL
  485 53 (
  486 97 DSZ
  487 17 17
  488 33 X2
  489 43 RCL
  490 16 16
  491 16 A'
* 492 76 LBL
  493 89 п
  494 43 RCL
  495 19 19
  496 16 A'
* 497 76 LBL
  498 55 :
  499 97 DSZ
  500 19 19
  501 23 LNX
  502 43 RCL
  503 07 07
  504 16 A'
* 505 76 LBL
  506 65 x
  507 43 RCL
  508 12 12
  509 16 A'
* 510 76 LBL
  511 75 -
  512 97 DSZ
  513 12 12
  514 25 CLR
  515 43 RCL
  516 02 02
  517 16 A'
* 518 76 LBL
  519 85 +
  520 43 RCL
  521 03 03
  522 16 A'
* 523 76 LBL
  524 95 =
  525 97 DSZ
  526 03 03
  527 24 CE
  528 43 RCL
  529 01 01
  530 16 A'
* 531 76 LBL
  532 94 +/-
  533 97 DSZ
  534 01 01
  535 22 INV
  536 91 R/S
* 537 76 LBL
  538 99 PRT
  539 92 RTN

Una breve nota storica 

L'esagono magico è stato scoperto nell'Ottocento da vari autori indipendentemente l'uno dall'altro anche se il più antico sembra essere l'architetto tedesco Ernst von Haselberg nel 1888 e, come al solito, l'intera letteratura matematico-scientifica americana l'ha dimenticato (e questo sia detto senza polemica .....) attribuendone il merito all'americano Clifford W. Adams che lo studiò dal 1910 per 47 anni (!!), perdendo tra l'altro la soluzione e ritrovandola solo cinque anni dopo, nel 1962. In realtà un'altro scopritore indipendente fu l'inglese Radcliffe nel 1895 e probabilmente ce ne furono anche altri.

Nel link sotto si possono scaricare tutti i sorgenti ed gli eseguibili nei vari linguaggi (compresa la versione a 64 bit compilata con il solito QB64).

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